题目内容
【题目】已知函数
，
.
（1）若函数
在
处的切线与直线
平行，求实数
的值；
（2）试讨论函数在区间
上的最大值；
（3）若
时，函数恰有两个零点
，求证：
.
【答案】（1）
；（2）详见解析；（3）详见解析.
【解析】
（1）直线
的斜率为
，即函数
在
处的导数为，由此列方程求得
的值.（2）对函数求导后，对分成
两类，利用函数导数讨论函数的单调性，并求出最大值.（3）当
时，将两个零点代入函数的表达式，化简得到
，设
化简上式，求得
的表达式，利用导数求得这个表达式的取值范围，由此证得
.
解：（1）由
，
，
由于函数在
处的切线与直线平行，
，解得.
（2）
，
由
，得
；由
，得
.
①当
时，函数在
上单调递减，
；
②当
时，函数在
上单调递增，在
上单调递减.
.
（3）若时，恰有两个零点
，
，
由
，
，
得
，
，
设，
，
，故
，
，
记函数
-lnt，因
，
在
递增，
，
，
又，
，故成立.
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