Question

已知复数z满足|z|=

2

，z²的虚部为2．
（1）求z；
（2）设z、z²、z-z²在复平面对应的点分别为A，B，C，求∠ABC的余弦值．

Answer 1

分析：（1）设z=a+bi，根据复数模的公式和乘法运算法则，得到a²+b²=2且2ab=2，联解可得a=b=-1或a=b=1，得到z的值；
（2）当z=1+i时，由复数的几何意义算出A、B、C的坐标，从而算出AB=

2

、AC=2、BC=

10

，利用余弦定理即可算出cos∠ABC=

2 5

5

；当z=-1-i时，用类似的方法可算出cos∠ABC=

8 65

65

．

解答：解：（1）设z=a+bi（a、b∈R），z²=（a+bi）²=a²-b²+2abi…（1分）
∵|z|=

a2+b2

=

2

，∴a²+b²=2，…①
又∵z²的虚部为2，∴2ab=2…②…（2分）
①②联解，得a=b=-1或a=b=1…（3分）
∴z=1+i或-1-i…（4分）
（2）（i）当z=1+i时，z²=2i，z-z²=1-i…（5分）
可得A（1，1），B（0，2），C（1，-1）．
∴AB=

2

，AC=2，BC=

10

，
可得cos∠ABC=

2+10-4

2× 2 × 10

=

2

5

5

，…（9分）
（ii）当z=-1-i，z²=2i，z-z²=-1-3i，…（10分）
可得A（-1，-1），B（0，2），C（-1，-3）．
∴AB=

10

，AC=2，BC=

26

，
可得cos∠ABC=

26+10-4

2× 26 × 10

=

8

65

65

…（13分）

点评：本题以复数的运算和复数的几何意义为载体，求复数z的值并求cos∠ABC的值．着重考查了复数的有关概念、坐标系内两点间的距离公式和余弦定理等知识，属于中档题．