题目内容
（2011•洛阳一模）设函数f（x）=sin（2x+
）+2cos2（
-x）．
（1）求f（x）的最小正周期及对称轴方程；
（2）设△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若f（
）=
+1，c=
，cosB=
，求b．
| π |
| 3 |
| π |
| 4 |
（1）求f（x）的最小正周期及对称轴方程；
（2）设△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若f（
| C |
| 2 |
| 3 |
| 6 |
| 3 |
| 5 |
分析：（1）根据两角和的正弦公式和辅助角公式，化简得f（x）=
sin（2x+
）+1．再由三角函数的周期公式和对称轴方程的公式，即可求出f（x）的最小正周期及对称轴方程；
（2）由（1）的解析式解方程f（
）=
+1，得C=
．用同角三角函数的基本关系算出sinB=
，再利用正弦定理
=
的式子，代入数据即可求出边b的值．
| 3 |
| π |
| 6 |
（2）由（1）的解析式解方程f（
| C |
| 2 |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 4 |
| 5 |
| b |
| sinB |
| c |
| sinC |
解答：解：（1）f（x）=sin（2x+
）+2cos2（
-x）
=sin（2x+
）+[1+cos（
-2x）]=
sin2x+
cos2x+1+sin2x
=
sin2x+
cos2x+1=
sin（2x+
）+1
∴f（x）的最小正周期T=
=π，
令2x+
=
+kπ（k∈Z），得x=
+
kπ（k∈Z）
∴f（x）的对称轴方程为x=
+
kπ（k∈Z）；
（2）由（1）得f（
）=
sin（C+
）+1=
+1
∴sin（C+
）=1，结合C∈（0，π）得C=
∵cosB=
，可得sinB=
=
∴由正弦定理
=
，得
b=
=
=
．
| π |
| 3 |
| π |
| 4 |
=sin（2x+
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
=
| 3 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| 3 |
| π |
| 6 |
∴f（x）的最小正周期T=
| 2π |
| 2 |
令2x+
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
∴f（x）的对称轴方程为x=
| π |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
（2）由（1）得f（
| C |
| 2 |
| 3 |
| π |
| 6 |
| 3 |
∴sin（C+
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
∵cosB=
| 3 |
| 5 |
| 1-cos2B |
| 4 |
| 5 |
∴由正弦定理
| b |
| sinB |
| c |
| sinC |
b=
| csinB |
| sinC |
| ||||
|
8
| ||
| 5 |
点评：本题给出三角函数关系式，求函数的周期与图象的对称轴方程，并依此解三角形ABC．着重考查了三角恒等变换、三角函数的图象与性质和正余弦定理等知识，属于中档题．
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