Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=2AA₁=2，sin∠ABC=

3

2

，D是BC的中点．
（1）求证：A₁B∥平面AC₁D；
（2）求证：平面AC₁D⊥平面B₁BCC₁；
（3）求三棱锥B-AC₁D的体积．

Answer 1

分析：（1）利用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理即可证明；
（2）利用直三棱柱的性质、等腰三角形底边的“三线合一”的性质、面面垂直的判定定理即可证明；
（3）利用等积变形和三棱锥的体积计算公式即可得出．

解答：解：（1）证明：连接A₁C交AC₁于点O，连接OD，
在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ACC₁A₁是矩形，∴A₁O=OC．
又∵D是BC的中点，∴A₁B∥OD．
∵A₁B?平面AC₁D，OD?平面AC₁D．
∴A₁B∥平面AC₁D．
（2）在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点．
∴AD⊥BC．
在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，B₁B⊥底面ABC，∴B₁B⊥AD．
又B₁B∩BC=B，∴AD⊥侧面BCC₁B₁．
∵AD?平面AC₁D，
∴平面AC₁D⊥平面BCC₁B₁．
（3）在Rt△ABD中，∵sin∠ABD=

3

2

，∴∠ABD=60°．
∵AB=2，∴AD=

3

，BD=1．
∴VB-AC1D=VC1-ABD=

1

3

S△ABD×C1C=

1

3

×

1

2

×

3

×1×1=

3

6

．

点评：熟练掌握直三棱柱的性质、等腰三角形底边的“三线合一”的性质、线面平行的判定定理、面面垂直的判定定理、等积变形和三棱锥的体积计算公式是解题的关键．