Question

设函数f(x)=x³-3ax+b（a≠0），
(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点（2，f(2)）处与直线y=8相切，求a，b的值；
(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间与极值点．

Answer 1

解：(I)f′(x)=3x²-3a，
因为曲线y=f(x)在点（2，f(2)）处与直线y=8相切，
所以，即，
解得a=4，b=24．
(Ⅱ)f′（x）=3（x²-a）(a≠0)，
当a＜0时，f′(x)＞0，函数f(x)在（-∞，+∞）上单调递增，此时函数f(x)没有极值点；
当a＞0时，由f′(x)=0，得x=±，
当时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；
当时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；
当时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增，
此时x=-是f(x)的极大值点，x=是f(x)的极小值点。