题目内容

在周长为定值的△ABC中，已知|AB|=6，且当顶点C位于定点P时，cosC有最小值为 $数学公式$ ．
（Ⅰ）建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程．
（Ⅱ）过点A作直线与（Ⅰ）中的曲线交于M、N两点，求 $数学公式$ 的最小值的集合．

解：（Ⅰ）以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，
设|CA|+|CB|=2a（a＞3）为定值，所以C点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，
所以焦距 2c=|AB|=6
因为 $\text{[math]}$
又 $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ ，
由题意得 $\text{[math]}$ ，∴a²=25
此时，|PA|=|PB|，P点坐标为 P（0，±4）．
所以C点的轨迹方程为 $\text{[math]}$
（Ⅱ）不妨设A点坐标为A（-3，0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
（1）当直线MN的倾斜角不为90⁰时，设其方程为 y=k（x+3）代入椭圆方程化简，得
$\text{[math]}$
显然有△≥0，所以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
而由椭圆第二定义可得 $\text{[math]}$ =（5- $\text{[math]}$ ）（5- $\text{[math]}$ ）=25-3（x₁+x₂） $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$

只要考虑 $\text{[math]}$ 的最小值，即考虑 $\text{[math]}$ 取最小值，
∴当k=0时， $\text{[math]}$ 取最小值16；
（2）当直线MN的倾斜角为90°时，x₁=x₂=-3，得 $\text{[math]}$
但 $\text{[math]}$ ，故k≠0，这样的M、N不存在，即 $\text{[math]}$ 的最小值的集合为空集
分析：（Ⅰ）P点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，2c=|AB|，由余弦定理可得 $\text{[math]}$ 及基本不等式 $\text{[math]}$ ，可得 $\text{[math]}$ ，从而可求a，及C点的轨迹方程
（Ⅱ）不妨设A点坐标为A（-3，0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．（1）当直线MN的倾斜角不为90⁰时，设其方程为 y=k（x+3）代入椭圆方程化简，显然有△≥0，由椭圆第二定义可得 $\text{[math]}$ =（5- $\text{[math]}$ ）（5- $\text{[math]}$ ）=25-3（x₁+x₂） $\text{[math]}$ 及方程的根与系数的关系可求|BM|•|BN|取最小值，（2）当直线MN的倾斜角为90°时，x₁=x₂=-3，得 $\text{[math]}$ ，结合椭圆 $\text{[math]}$ ，故k≠0，这样的M、N不存在．
点评：本题主要考查了利用椭圆的性质及余弦定理求解椭圆的方程，利用函数的性质求解函数的最值问题，综合性强．