Question

已知椭圆C：（），其离心率为，两准线之间的距离为。（1）求之值；（2）设点A坐标为(6, 0)，B为椭圆C上的动点，以A为直角顶点，作等腰直角△ABP（字母A，B，P按顺时针方向排列），求P点的轨迹方程。

Answer 1

（1）a＝5，b＝3（2）

（1）设c为椭圆的焦半径，则
。
于是有a＝5，b＝3。
（2） 解法一：设B点坐标为，P点坐标为。于是有

因为，所以有
。           (A1 )
又因为ABP为等腰直角三角形，所以有 AB=AP，即 
。              (A2 )  
由（A1）推出，代入（A2），得
        
从而有 ，即（不合题意，舍去）或。
代入椭圆方程，即得动点P的轨迹方程

解法二： 设,，则以A为圆心，r为半径的圆的参数方程为
。
设AB与x轴正方向夹角为，B点的参数表示为
，
P点的参数表示为
.
从上面两式，得到
。
又由于B点在椭圆上，可得
。
此即为P点的轨迹方程。