题目内容

设函数y=sin（?x+φ）(?＞0，φ∈(-
π
2
，
π
2
))的最小正周期为π，且其图象关  于直线x=
π
12
对称，则在下面四个结论：
①图象关于点(
π
4
，0)对称；
②图象关于点(
π
3
，0)对称，
③在[0，
π
6
]上是增函数中，
所有正确结论的编号为
②
②
．
分析：首先由三角函数周期公式和对称轴方程，求出ω和φ的值，然后再由三角函数图象关于对称性的规律：对称轴处取最值，对称中心为零点．再结合函数的周期，逐个验证易得答案．
解答：解：因为函数最小正周期为T=
2π
ω
=π，解得ω=2，
再根据图象关于直线x=
π
12
对称，得出2x+φ=
π
2
+kπ，k∈Z，
取x=和k=1，得φ=
π
3
，所以函数表达式为：y=sin（2x+
π
3
）
当x=
π
3
时，函数值f（
π
3
）=0，因此函数图象关于点（
π
3
，0）对称，
所以②是正确的，①是错误的；
由不等式：2kπ-
π
2
＜2x+
π
3
＜+2kπ+
π
2
   （k∈Z）
解得得函数的增区间为：（-
5π
12
+kπ，
π
12
+kπ）（k∈Z），
当k=1时，可得函数的增区间为（-
5π
12
，
π
12
），故③错误
故答案为：②
点评：本题考查三角函数的周期性、对称性和单调性，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，a2-c2=
3
ab-b2，S△ABC=2．
（1）求
CA
•
CB
的值；
（2）设函数y=sin(ωx+φ)，(其中φ∈[0，
π
2
]，ω＞0)，最小正周期为π，当x等于角C时函数取到最大值，求使该函数取最小值时的x的集合．
设函数y=sin(2x+
π3
)，若对任意x∈R，存在x1，x2使f（x1）≤f（x）≤f（x2）恒成立，则|x1-x2|的最小值是
 
．
（2005•海淀区二模）设函数y=sin(ωx+?)(ω＞0，?∈(-
π
2
，
π
2
))的最小正周期为π，且其图象关于直线x=
π
12
对称，则在下面四个结论中：
（1）图象关于点(
π
4
，0)对称；
（2）图象关于点(
π
3
，0)对称；
（3）在[0，
π
6
]上是增函数；
（4）在[-
π
6
，0]上是增函数，
那么所有正确结论的编号为
（2）（4）
（2）（4）
．
设函数y=sin（?x+φ）的最小正周期为π，且其图象关  于直线对称，则在下面四个结论：
①图象关于点对称；
②图象关于点对称，
③在上是增函数中，
所有正确结论的编号为    ．

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