Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足Sn=

1

4

(an+1)2，且a_n＞0．
（1）求数列{a_n}的通项公式
（2）令b_n=20-a_n，试求数列{b_n}的前多少项的和最大？

Answer 1

分析：（1）由题设a1=S1=

1

4

(a1+1)2，知a₁=1，当n=2时，有a1+a2=

1

4

(a2+1)2，知a₁=3．当n≥2时，an=Sn-Sn-1=

1

4

[(an+1)2-(an-1+1)2]，由此能求出a_n．
（2）由于b_n=20-a_n=21-2n，则b₁=19，b_n-b_n-1=-2＜0．所以{b_n}是递减数列，由此能求出数列{b_n}的前10项和最大．

解答：解：（1）当n=1时，有a1=S1=

1

4

(a1+1)2，∴a₁=1
当n=2时，有a1+a2=

1

4

(a2+1)2，∴a₁=3
当n≥2时，有an=Sn-Sn-1=

1

4

[(an+1)2-(an-1+1)2]
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0又∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=2，
∴数列{a_n}是以1为首项，以2为公差的等差数列，
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1
（2）由于b_n=20-a_n=21-2n，则b₁=19，b_n-b_n-1=-2＜0．
∴{b_n}是递减数列，
令

bn=21-2n＞0   bn+1=19-2n＜0

，
∴n=10，即数列{b_n}的前10项和最大．

点评：本题考查数列的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．