题目内容

某中学已选派20名学生观看当地举行的三场（同时进行）比赛，名额分配如下：
足球 跳水 柔道
10 6 4
（Ⅰ）从观看比赛的学生中任选2人，求他们恰好观看的是同一场比赛的概率；
（Ⅱ）从观看比赛的学生中任选3人，求他们中至少有1人观看的是足球比赛的概率；
（Ⅲ）如果该中学可以再安排4名教师选择观看上述3场比赛（假设每名教师选择观看各场比赛是等可能的，且各位教师的选择是相互独立的），记观看足球比赛的教师人数ξ为，求随机变量ξ的分布列和数学期望．
分析：（Ⅰ）设从观看比赛的学生中任选2人，他们恰好观看的是同一场比赛为事件A．由组合数公式能求出他们恰好观看的是同一场比赛的概率．
（Ⅱ）解法1：设所选的3名学生均没有观看足球比赛为事件B．先求出B的概率，再由对立事件的概率求出他们中至少有1人观看的是足球比赛的概率．
解法2：设从观看比赛的学生中任选3人，他们中至少有1人观看的是足球比赛为事件C． 由组合数公式求出他们中至少有1人观看的是足球比赛的概率．
（Ⅲ）解法1：ξ可能取的值为0，1，2，3，4．由题意可知，每位教师观看足球比赛的概率均为
1
3
 所以P（ξ=0）=
C
0
4
(
1
3
)0(
4
3
)4=
16
81
； P（ξ=1）=
c
1
4
(
1
3
)(
2
3
)3=
32
81
；p（ξ=2）=
c
2
4
(
1
3
)2(
2
3
)  2=
24
81
=
8
27
； p（ξ=3）=
c
3
4
(
1
3
)3(
2
3
) =
8
81
；p（ξ=4）=
c
4
4
(
1
3
)4(
2
3
)0=
1
81
．由此能求出随机变量ξ的分布列和Eξ．
解法2：由题意可知，每位教师观看足球比赛的概率均为
1
3
．随机变量ξ～B（4，
1
3
）．由此能求出随机变量ξ的分布列和Eξ．
解答：（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）设从观看比赛的学生中任选2人，他们恰好观看的是同一场比赛为事件A． （1分）
则P(A)=
C
2
10
+
C
2
6
+
C
2
4
C
2
20
=
33
95
．（3分）
答：从观看比赛的学生中任选2人，他们恰好观看的是同一场比赛的概率是
33
95
．
（Ⅱ）解法1：设所选的3名学生均没有观看足球比赛为事件B． （4分）
则P(B)=
C
3
10
C
3
20
=
2
19
，所以P(
.
B
) =1-P(B)=
17
19
．（7分）
答：从观看比赛的学生中任选3人，他们中至少有1人观看的是足球比赛的概率是
17
19
．
解法2：设从观看比赛的学生中任选3人，他们中至少有1人观看的是足球比赛为事件C． （4分）
则P（C）=
C
1
10
•
C
2
10
+
C
2
10
•
C
1
10
+
C
3
10
C
3
20
=
17
19
．（7分）
答：从观看比赛的学生中任选3人，他们中至少有1人观看的是足球比赛的概率是
17
19

（Ⅲ）解法1：ξ可能取的值为0，1，2，3，4．（8分）
由题意可知，每位教师观看足球比赛的概率均为
1
3
 （9分）
所以P（ξ=0）=
C
0
4
(
1
3
)0(
4
3
)4=
16
81
； P（ξ=1）=
c
1
4
(
1
3
)(
2
3
)3=
32
81
；
p（ξ=2）=
c
2
4
(
1
3
)2(
2
3
)  2=
24
81
=
8
27
； p（ξ=3）=
c
3
4
(
1
3
)3(
2
3
) =
8
81
；
p（ξ=4）=
c
4
4
(
1
3
)4(
2
3
)0=
1
81
．（11分）
随机变量ξ的分布列为：
ξ 0 1 2 3 4
P
16
81
32
81
8
27
8
81
1
81
（12分）
所以Eξ=0×
16
81
+1×
32
81
+2×
24
81
+3×
8
81
+4×
1
81
=
4
3
．（14分）
解法2：由题意可知，每位教师观看足球比赛的概率均为
1
3
．（8分）
则随机变量ξ～B（4，
1
3
）．（10分）
所以随机变量ξ的分布列为：
ξ 0 1 2 3 4
P
16
81
32
81
8
27
8
81
1
81
（12分）
所以Eξ=np=4×
1
3
=
4
3
．（14分）
点评：本题考查离散型随机变量的数学期和方差，解题时要认真审题，注意组合数公式的合理运用．
练习册系列答案
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某中学已选派20名学生观看当地举行的三场(同时进行)比赛，名额分配如下：

(1)从观看比赛的学生中任选2名，求他们观看的恰好是同一场比赛的概率；

(2)从观看比赛的学生中，任选3人，求他们中至少有1人观看的是足球比赛的概率；

(3)如果该中学可以再安排4名教师选择观看上述3场比赛(假设每名教师选择观看各场比赛是等可能的，且各位教师的选择是相互独立的)，记观看足球比赛的教师人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．

（09年海淀区期中理）（14分） 

某中学已选派20名学生观看当地举行的三场（同时进行）比赛，名额分配如下：

足球

跳水

柔道

10

6

4

   （Ⅰ）从观看比赛的学生中任选2名，求他们观看的恰好是同一场比赛的概率；

   （Ⅱ）从观看比赛的学生中，任选3人，求他们中至少有1人观看的是足球比赛的概率；

   （Ⅲ） 如果该中学可以再安排4名教师选择观看上述3场比赛（假设每名教师选择观看各场比赛是等可能的，且各位教师的选择是相互独立的），记观看足球比赛的教师人数为，求随机变量的分布列和数学期望.

某中学已选派20名学生观看当地举行的三场（同时进行）比赛，名额分配如下：
足球跳水柔道
1064
（Ⅰ）从观看比赛的学生中任选2人，求他们恰好观看的是同一场比赛的概率；
（Ⅱ）从观看比赛的学生中任选3人，求他们中至少有1人观看的是足球比赛的概率；
（Ⅲ）如果该中学可以再安排4名教师选择观看上述3场比赛（假设每名教师选择观看各场比赛是等可能的，且各位教师的选择是相互独立的），记观看足球比赛的教师人数ξ为，求随机变量ξ的分布列和数学期望．
某中学已选派20名学生观看当地举行的三场（同时进行）比赛，名额分配如下：
足球跳水柔道
1064
（Ⅰ）从观看比赛的学生中任选2人，求他们恰好观看的是同一场比赛的概率；
（Ⅱ）从观看比赛的学生中任选3人，求他们中至少有1人观看的是足球比赛的概率；
（Ⅲ）如果该中学可以再安排4名教师选择观看上述3场比赛（假设每名教师选择观看各场比赛是等可能的，且各位教师的选择是相互独立的），记观看足球比赛的教师人数ξ为，求随机变量ξ的分布列和数学期望．

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