题目内容

如图，在△ABC中，已知|
AB
|=4，|
AC
|=2，
AD
=
1
3
AB
+
2
3
AC
，
（1）证明：B，C，D三点共线；           （2）若|
AD
|=
6
，求|
BC
|的值．
分析：（1）本题考查的知识点是向量共线定理，由
AD
=
1
3
AB
+
2
3
AC
，得
BD
=
3
3
CB
，
BD
与
CB
有公共点B，于是B，C，D三点共线；
（2）由
AD
=
1
3
AB
+
2
3
AC
，平方得求得向量的数量积
AB
•
AC
=
11
2
．从而得到cos∠BAC，最后由余弦定理得|
BC
|的值．
解答：解：（1）当
AD
=
1
3
AB
+
2
3
AC
时，
∴
AD
-
AB
= -
2
3
AB
+
2
3
AC
，
则
BD
=
3
3
CB
，
BD
与
CB
有公共点B，
于是B，C，D三点共线；
（2）由
AD
=
1
3
AB
+
2
3
AC
，平方得：
AD
 2=
1
9
AB
 2+
4
9
AC
 2+
4
9
AB
•
AC
，
从而有：6=
16
9
+
16
9
+
4
9
AB
•
AC

∴
AB
•
AC
=
11
2

∴4×2×cos∠BAC=
11
2

cos∠BAC=
11
16
．
由余弦定理得：|
BC
| 2=16+4-2×4×2×cos∠BAC=9
∴|
BC
|的值为3．
点评：若A、B、P三点共线，O为直线外一点，则
OP
=λ
OA
+μ
OB
，且λ+μ=1，反之也成立，这是三点共线在向量中最常用的证明方法和性质，大家一定要熟练掌握．
练习册系列答案
相关题目
精英家教网如图，在△ABC中，已知∠ABC=90°，AB上一点E，以BE为直径的⊙O恰与AC相切于点D，若AE=2cm，
AD=4cm．
（1）求：⊙O的直径BE的长；
（2）计算：△ABC的面积．
精英家教网如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB=AD，2AB=
3
BD，BC=2BD，则sinC的值为（　　）
A、
3
3
B、
3
6
C、
6
3
D、
6
6
如图，在△ABC中，设
AB
=a，
AC
=b，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点恰为P．
（Ⅰ）若
AP
=λa+μb，求λ和μ的值；
（Ⅱ）以AB，AC为邻边，AP为对角线，作平行四边形ANPM，求平行四边形ANPM和三角形ABC的面积之比
S平行四边形ANPM
S△ABC
．
如图，在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3．
（1）求∠ADC的大小；
（2）求AB的长．
如图，在△ABC中，已知
BD
=2
DC
，则
AD
=（　　）

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网