题目内容

设A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的两点，
m
=（
x1
b
，
y1
a
），
n
=（
x2
b
，
y2
a
），且
m
•
n
=0，椭圆离心率e=
3
2
，短轴长为2，O为坐标原点．
（1）求椭圆方程；
（2）若存在斜率为k的直线AB过椭圆的焦点F（0，c）（c为半焦距），求k的值；
（3）试问△AOB的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
分析：（1）依题意可求得b，进而根据离心率求得a，则椭圆方程可得．
（2）设AB方程为y=kx+
3
，与椭圆方程联立，利用韦达定理及
m
•
n
=0，即可求得k的值；
（3）当A为顶点时，B必为顶点，则△AOB的面积是1；当A，B不为顶点时，设AB方程为y=kx+m与椭圆方程联立，利用韦达定理及
m
•
n
=0，可得2m2-k2=4，从而可得结论．
解答：解：（1）∵椭圆离心率e=
3
2
，短轴长为2，∴
c
a
=
3
2
，b=1，解得a=2，b=1
∴所求椭圆方程为
y2
4
+x2=1；
（2）设AB方程为y=kx+
3
，与椭圆方程联立，消元可得（k2+4）x2+2
3
kx-1=0
∴x1+x2=
-2
3
k
k2+4
，x1x2=
-1
k2+4

由已知
m
=（
x1
b
，
y1
a
），
n
=（
x2
b
，
y2
a
），且
m
•
n
=0，∴
x1x2
b2
+
y1y2
a2
=0
∴x1x2+
1
4
(kx1+
3
)（kx2+
3
）=0
∴k=±
2

（3）当A为顶点时，B必为顶点，则△AOB的面积是1；
当A，B不为顶点时，设AB方程为y=kx+m
与椭圆方程联立，消元可得（k2+4）x2+2kmx+m2-4=0
∴x1+x2=
-2mk
k2+4
，x1x2=
m2-4
k2+4

∵
m
•
n
=0，∴x1x2+
1
4
(kx1+m)（kx2+m）=0
∴2m2-k2=4
∴△AOB的面积是
1
2
|m||x1-x2|=
|m|
4k2-4m2+16
k2+4
=
4m2
2|m|
=1．
∴三角形的面积为定值1．
点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查三角形面积的计算，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，直线l过点F交抛物线C于A、B两点．
（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2），求
1
y1
+
1
y2
的取值范围；
（Ⅱ）是否存在定点Q，使得无论AB怎样运动都有∠AQF=∠BQF？证明你的结论．
设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f(x)=
1
2
+log2
x
1-x
的图象上两点，且
OM
=
1
2
(
OA
+
OB
)，O为坐标原点，已知点M的横坐标为
1
2
．
（Ⅰ）求证：点M的纵坐标为定值；
（Ⅱ）定义定义Sn=
n-1
i=1
f(
i
n
)=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)，其中n∈N*且n≥2，求S2011；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的Sn，设an=
1
2Sn+1
(n∈N*)．若对于任意n∈N*，不等式kan3-3an2+1＞0恒成立，试求实数k的取值范围．
设A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)上的两点，已知O为坐标原点，椭圆的离心率e=
3
2
，短轴长为2，且
m
=(
x1
b
，
y1
a
)，
n
=(
x2
b
，
y2
a
)，若
m
•
n
=0．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c）（c为半焦距），求△AOB的面积．
设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f（x）=
1
2
+log2
x
1-x
图象上任意两点，且
OM
=
1
2
（
OA
+
OB
），已知点M的横坐标为
1
2
，且有Sn=f（
1
n
）+f（
2
n
）+…+f（
n-1
n
），其中n∈N*且n≥2，
（1）求点M的纵坐标值；
（2）求s2，s3，s4及Sn；
（3）已知an=
1
(Sn+1)(Sn+1+1)
，其中n∈N*，且Tn为数列{an}的前n项和，若Tn≤λ（Sn+1+1）对一切n∈N*都成立，试求λ的最小正整数值．
设A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）是抛物线y=x2上的三个动点，其中x3＞x2≥0，△ABC是以B为直角顶点的等腰直角三角形．
（1）求证：直线BC的斜率等于x2+x3，也等于
x2-x1x3-x2
；
（2）求A、C两点之间距离的最小值．

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