题目内容

己知在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且tanA= $数学公式$
（I ）求角A大小；
（II）当a= $数学公式$ 时，求B的取值范围和b²+c²的取值范围．

解：（I ）由题意得tanA= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴sinA= $\text{[math]}$ ，故锐角A= $\text{[math]}$ ．
（II）当a= $\text{[math]}$ 时，∵B+C= $\text{[math]}$ ，∴C= $\text{[math]}$ -B．由题意得 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ＜B＜ $\text{[math]}$ ．由 $\text{[math]}$ =2，得 b=2sinB，c=2sinC，
∴b²+c²=4 （sin²B+sin²C）=4+2sin（2B- $\text{[math]}$ ）．
∵ $\text{[math]}$ ＜B＜ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ＜sin（2B- $\text{[math]}$ ）≤1，∴1≤2sin（2B- $\text{[math]}$ ）≤2．
∴5＜b²+c²≤6．
分析：（I ）利用锐角△ABC中，sinA= $\text{[math]}$ ，求出角A的大小．
（II）先求得 B+C= $\text{[math]}$ ，根据B、C都是锐角求出B的范围，由正弦定理得到b=2sinB，c=2sinC，
根据 b²+c²=4+2sin（2B- $\text{[math]}$ ）及B的范围，得 $\text{[math]}$ ＜sin（2B- $\text{[math]}$ ）≤1，从而得到b²+c²的范围．
点评：本题考查同角三角函数的基本关系，正弦定理得应用，其中判断sin（2B- $\text{[math]}$ ）的取值范围是本题的难点．