Question

14．已知命题p：?x₀∈[1，3]，x₀-lnx₀＜m；命题q：?x∈R，x²+2＞m²
（1）若（￢p）∧q为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 先求出关于p，q为真时的m的范围，（1）问题转化为p假q真，得到不等式组，解出m的范围即可；（2）通过讨论p真q假、p假q真的情况，从而求出m的范围．

解答 解：由命题p：?x₀∈[1，3]，x₀-lnx₀＜m，
得：m＞（x-lnx）_min，
令f（x）=x-lnx，f′（x）=1-$\frac{1}{x}$≥0在[1，3]恒成立，
∴f（x）在[1，3]递增，
∴f（x）_min=f（1）=1，
∴p为真时：m＞1；
命题q：?x∈R，x²+2＞m²，
∴m²＜（x²+2）_min=2，
∴q为真时：-$\sqrt{2}$＜m＜$\sqrt{2}$，
（1）若（￢p）∧q为真命题，则p假q真，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m≤1}\\{-\sqrt{2}＜m＜\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
解得：-$\sqrt{2}$＜m≤1；
（2）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p，q一真一假，
p真q假时：$\left\{\begin{array}{l}{m＞1}\\{m≥\sqrt{2}或m≤-\sqrt{2}}\end{array}\right.$，解得：m≥$\sqrt{2}$，
p假q真时：由（1）得：-$\sqrt{2}$＜m≤1；
故m的范围是（-$\sqrt{2}$，1]∪[$\sqrt{2}$，+∞）．

点评 本题考查了复合命题问题，考查函数恒成立问题，是一道中档题．