题目内容
已知数列{an}中，a1=2，a2=4，
是函数f（x）=an-1x2-3an+an+1 （n≥2）的一个零点．
（1）证明{an+1-an}是等比数列，并求{an}的通项公式；
（2）求数列{nan}的前n项和Sn；
（3）是否存在指数函数g（x），使得对任意的正整数n，有
＜
成立？若存在，求出满足条件一个g（x）；若不存在，说明理由．
| 2 |
（1）证明{an+1-an}是等比数列，并求{an}的通项公式；
（2）求数列{nan}的前n项和Sn；
（3）是否存在指数函数g（x），使得对任意的正整数n，有
| n |
 |
| k=1 |
| g(k) |
| (ak+1)(ak+1+1) |
| 1 |
| 3 |
分析：（1）由
是函数f（x）=an-1x2-3an+an+1 （n≥2）的一个零点，得2an-1-3an+an+1=0，即an+1-an=2（an-an-1）
从而得到{an+1-an}是公比为2的等比数列，由累差法易得an=2n
（2）由sn=1•2+2•22+3•23+…+（n-1）2n-1+n•2n得2sn=1•22+2•23+3•24+…+（n-1）2n+n•2n+1
再由错位相减法易得Sn=（n-1）2n+1+2；
（3）存在，例如g（x）=2x，用裂项法求和易得证或用放缩法证明．在用放缩法时主要利用2n+1＞3，2n+1+1＞5进行放缩．
| 2 |
从而得到{an+1-an}是公比为2的等比数列，由累差法易得an=2n
（2）由sn=1•2+2•22+3•23+…+（n-1）2n-1+n•2n得2sn=1•22+2•23+3•24+…+（n-1）2n+n•2n+1
再由错位相减法易得Sn=（n-1）2n+1+2；
（3）存在，例如g（x）=2x，用裂项法求和易得证或用放缩法证明．在用放缩法时主要利用2n+1＞3，2n+1+1＞5进行放缩．
解答：解：（1）∵
是函数f（x）=an-1x2-3an+an+1 （n≥2）的一个零点，
∴2an-1-3an+an+1=0，即an+1-an=2（an-an-1）
∴{an+1-an}是公比为2的等比数列，即an+1-an=（a2-a1）2n-1=2n，由累差法易得an=2n
（2）sn=1•2+2•22+3•23+…+（n-1）2n-1+n•2n
2sn=1•22+2•23+3•24+…+（n-1）2n+n•2n+1
错位相减得，-sn=1•2+•22+•23+…+2n-n•2n+1
∴Sn=（n-1）2n+1+2；
（3）存在，例如g（x）=2x，用裂项法求和易得证．
或用放缩法证明：
设g（k）=ak，a＞0且a≠1，
=
+
+
+…
＜
+
+
+…
=
当a=
时，显然有
＜
＜
，故存在这样的指数函数
| 2 |
∴2an-1-3an+an+1=0，即an+1-an=2（an-an-1）
∴{an+1-an}是公比为2的等比数列，即an+1-an=（a2-a1）2n-1=2n，由累差法易得an=2n
（2）sn=1•2+2•22+3•23+…+（n-1）2n-1+n•2n
2sn=1•22+2•23+3•24+…+（n-1）2n+n•2n+1
错位相减得，-sn=1•2+•22+•23+…+2n-n•2n+1
∴Sn=（n-1）2n+1+2；
（3）存在，例如g（x）=2x，用裂项法求和易得证．
或用放缩法证明：
设g（k）=ak，a＞0且a≠1，
| n |
|
| k=1 |
| g(k) |
| (ak+1)(ak+1+1) |
| a |
| 3•5 |
| a2 |
| 5•9 |
| a3 |
| 9•17 |
| an |
| (2n+1)•(2n+1+1) |
| a |
| 3•5 |
| a2 |
| 3•5 |
| a3 |
| 3•5 |
| an |
| 3•5 |
| a(1-an) |
| 15(1-a) |
当a=
| 1 |
| 2 |
1-(
| ||
| 15 |
| 1 |
| 15 |
| 1 |
| 3 |
点评：此题考查等比数列定义，及数列求和中错位相减法运用．同时还考查了用放缩法来解决问题．
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