Question

已知F₁、F₂是双曲线的两个焦点，若离心率等于的椭圆E与双曲线C的焦点相同．
（1）求椭圆E的方程；
（2）如果动点P（m，n）满足|PF₁|+|PF₂|=10，曲线M的方程为：．判断直线l：mx+ny=1与曲线M的公共点的个数，并说明理由；当直线l与曲线M相交时，求直线l：mx+ny=1截曲线M所得弦长的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由双曲线的方程即可得出焦点坐标，即可得出椭圆的焦点坐标公式，利用椭圆的标准方程及其性质即可得出方程；
（2）由动点P（m，n）满足|PF₁|+|PF₂|=10，可知点P在椭圆E上，即可得出m与n的关系及其取值范围．因为曲线M是圆心为（0，0），半径为的圆，利用点到直线的距离公式可得：圆心（0，0）到直线l：mx+ny-1=0的距离，即可得出直线l：mx+ny=1与曲线M公共点的个数．设直线l：mx+ny=1截曲线M所得弦长t，利用在0≤m²≤25上单调性，即可得出t的最大值．
解答：解：（1）∵F₁、F₂是双曲线的两个焦点，∴
不妨设F₁（-4，0）、F₂（4，0）．
∵椭圆E与双曲线C的焦点相同．
∴设椭圆E的方程为（a＞b＞0）
∵根据已知得，解得
∴椭圆E的方程为
（2）直线l：mx+ny=1与曲线M有两个公共点．
理由是：
∵动点P（m，n）满足|PF₁|+|PF₂|=10，∴P（m，n）是椭圆E上的点，
∴，∴，0≤m²≤25
∵曲线M是圆心为（0，0），半径为的圆
圆心（0，0）到直线l：mx+ny-1=0的距离=
∴直线l：mx+ny=1与曲线M有两个公共点．
设直线l：mx+ny=1截曲线M所得弦长t，在0≤m²≤25上递增
∴当m²=25，m=±5，n=0，即时，t最大为．
点评：熟练掌握圆锥曲线的定义及其性质、直线与圆锥曲线的位置关系、点到直线的距离公式、弦长公式、函数的单调性等是解题的关键．