Question

已知数列|a_n|满足：，且存在大于1的整数k使．
（1）用k表示m（化成最简形式）；
（2）若m是正整数，求k与m的值；
（3）当k大于7时，试比较7（m-49）与8（k²-k-42）的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用数列|a_n|满足：，且存在大于1的整数k使．逐步迭代可得m=1+2×，再写一式，两式相减，可求；
（2）由k＞1，m是正整数，可知|k-7|＜7^n-1，故有k-7=0，所以可求k=7，m=49；
（3）根据（1），表示出7（m-49），进而利用二项式定理可证．
解答：解：（1）m=1+）
=1+2×
=1+2×]
=1+2×               ①…（2分）
∴   ②
由①-②得-…（4分）
∴-
∴m=49+（k-7）×…（6分）
（2）由k＞1知|k-7|＜7^n-1
又∵m∈N^*故此有k-7=0
故k=7，m=49…（9分）
（3）∵m=49+（k-7）×
∴7（m-49）=56（k-7）•
=56（k-7）[1+C_k-1¹•
＞8（k-7）（k+6）
=8（k²-k-42）
∴7（m-49）＞8（k²-k-42）…（14分）
点评：本题以数列为依托，综合考查数列与不等式，借助于错位相减法考查数列求和，考查利用二项式定理比较大小．