Question

如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直.点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a（0＜a＜）.

（Ⅰ）求MN的长；

（Ⅱ）当a为何值时，MN的长最小；

（Ⅲ）当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角α的大小.

Answer 1

答案：
解析：

解：（Ⅰ）作MP∥AB交BC于点P，NQ∥AB交BE于点Q，连结PQ，依题意可得MP∥NQ，且MP=NQ，即MNQP是平行四边形，如图 ∴MN=PQ. 由已知，CM=BN=a，CB=AB=BE=1， ∴AC=BF=，  . 即CP=BQ=. ∴MN=PQ= （0＜a＜）. （Ⅱ）由（Ⅰ），MN=， 所以，当a=时，MN=. 即M、N分别移动到AC、BF的中点时，MN的长最小，最小值为. （Ⅲ）取MN的中点G，连结AG、BG，如图 ∵AM=AN，BM=BN，G为MN的中点 ∴AG⊥MN，BG⊥MN，∠AGB即为二面角α的平面角， 又AG=BG=，所以，由余弦定理有 cosα=. 故所求二面角α=arccos（－）.