Question

已知a，b，c∈（0，+∞），满足abc（a+b+c）=1，S=（a+c）（b+c），当S取最小值时，c的最大值为

2

-1

．

Answer 1

分析：由已知整理可得，c2+c(a+b)=

1

ab

，然后利用基本不等式可求S的最小值及满足的条件：ab=1，然后由1=abc（a+b+c）=c（a+

1

a

+c）=c2+(a+

1

a

)c≥c²+2c，从而可得关于c的不等式，解不等式可求c的范围

解答：解：∵a＞0，b＞0，c＞0，且abc（a+b+c）=1，
∴c2+c(a+b)=

1

ab

∴S=（a+c）（b+c）=ab+（a+b）c+c²=ab+

1

ab

≥2

ab• 1 ab

=2
当且仅当ab=

1

ab

即ab=1时取等号
∴S_min=2
此时1=abc（a+b+c）=c（a+

1

a

+c）=c2+(a+

1

a

)c≥c²+2c
∴c²+2c-1≤0
∵c＞0
∴0＜c≤

2

-1
∴c的最大值为

2

-1
故答案为：

2

-1

点评：本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，解答本题的技巧要注意体会掌握