Question

已知点 D 为△ABC 的边 BC 上一点．且 BD=2DC，∠ADB=75°，∠ACB=30°，AD=．
（I）求CD的长；
（II）求△ABC的面积．

Answer 1

解：（I）因为∠ADB=75°，∠ACB=30°，所以∠DAC=45°，在△ACD中，AD=，
根据正弦定理有 ，…（4分）
所以CD=2． …（6分）
（II）由 BD=2DC，可得BD=4． …（7分）
又在△ABD中，∠ADB=75°，sin75°=sin（45°+30°）=sin45°cos30°+cos45°sin30°=，…（9分）
所以 S_△ADB==+1，…（12分）
所以 S_△ABC=S_△ADB=． …（13分）
分析：（I）先求出∠DAC=45°，根据正弦定理有 ，由此求得CD的值．
（II）又在△ABD中，∠ADB=75°，利用两角和的正弦公式求得sin75°=sin（45°+30°）的值，可得S_△ADB的值，再由S_△ABC=S_△ADB 求得结果．
点评：本题主要考查两角和差的正弦公式，正弦定理的应用，属于中档题．