题目内容

（2013•莱芜二模）设a=
∫
π
0
(cosx-sinx)dx，则二项式(x2+
a
x
)6展开式中的x3项的系数为（　　）
分析：计算定积分求得a的值，在二项式(x2+
a
x
)6 展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求得r的值，即可求得展开式中的x3项的系数．
解答：解：由于a=
∫
π
0
(cosx-sinx)dx=（sinx+cosx）
|
π
0
=-2，
则二项式(x2+
a
x
)6 展开式的通项公式为 Tr+1=
C
r
6
•x12-2r•(
-2
x
)r=（-2）r•
C
r
6
•x12-3r，
令12-3r=3，解得r=3，故展开式中的x3项的系数为-8×20=-160，
故选C．
点评：本题主要考查求定积分，二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．
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