Question

若对于任意实数x＞0，x+

1

x+a

＞a恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A．[0，+∞）
• B．[0，

  1

  2

  ）
• C．[0，1）
• D．[0，1]

Answer 1

分析：由x＞0，且由选项知a≥0，可得x+a＞0，再凑定植并且结合基本不等式可得x+

1

x+a

的最小值为2-a，进而得到2-a＞a，即可求出a的范围．

解答：解：因为x＞0，且由选项知a≥0，
所以x+a＞0，
所以x+

1

x+a

=x+a+

1

x+a

-a≥2-a
所以x+

1

x+a

的最小值为2-a，
因为对于任意实数x＞0，x+

1

x+a

＞a恒成立，
所以2-a＞a即a＜1
所以0≤a＜1
故选C．

点评：解决不等式恒成立问题一般应该转化为求函数的最值问题，利用基本不等式求最值时，要注意使用的条件：一正、二定、三相等．