Question

已知二次函数f（x）=ax²-（2a+2）x+4（a＞0）
（1）若对于任意实数x∈R，f（x）≥0恒成立，求a的值；       
（2）解关于x的不等式f（x）≥0．

Answer 1

分析：（1）由条件得 ax²-（2a+2）x+4≥0的解集为R，根据判别式△≤0，解得a的值．
（2）由ax²-（2a+2）x+4=0求得方程的根x₁、x₂，再根据x₁ 和x₂ 的大小关系，求得一元二次不等式的解集．

解答：解：（1）由条件得 a＞0，不等式ax²-（2a+2）x+4≥0的解集为R，故有△=（2a+2）²-16a≤0，
化简可得 4 （a-1）²≤0，解得a=1．
（2）由f（x）=ax²-（2a+2）x+4=0，可得 （x-2）（ax-2）=0，解得 x1=2，x2=

2

a

．
当0＜a＜1时，

2

a

＞2，不等式f（x）≥0的解集是(-∞，2]∪[

2

a

，+∞)；
当a=1时，

2

a

=2，不等式f（x）≥0的解集是R；
当a＞1时，

2

a

＜2，不等式f（x）≥0的解集是(-∞，

2

a

]∪[2，+∞)．

点评：本题主要考查二次函数的性质，一元二次不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．