Question

在△ABC中，若lgsinA，lgsinB，lgsinC成等差数列，且三个内角，A，B，C也成等差数列，则三角形的形状为

等边三角形

．

Answer 1

分析：由lgsinA，lgsinB，lgsinC成等差数列得到角A，B，C的三角函数关系，再由A，B，C也成等差数列得到角B等于60°，然后联立并展开两角和与差的正弦求解答案．

解答：解：因为lgsinA，lgsinB，lgsinC成等差数列，得
lgsinA+lgsinC=2lgsinB，
即sin²B=sinAsinB①
又三内角A，B，C也成等差数列，所以B=60°．
代入①得sinAsinB=

3

4

②
假设A=60°-α，B=60°+α．
代入②得sin（60°+α）sin（60°-α）=

3

4

．
展开得，

3

4

cos2α-

1

4

sin2α=

3

4

．
即cos²α=1．
所以α=0°．
所以A=B=C=60°．
故答案为等边三角形．

点评：本题考查了等差数列的性质，考查了三角函数的化简与求值，训练了对数的运算性质，是中低档题．