Question

下列命题中，真命题的个数为（　　）
（1）在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB；
（2）已知

AB

=(3，4)，

CD

=(-2，-1)，则

AB

在

CD

上的投影为-2；
（3）函数的y=lg（x²+ax+1）的值域为R，则实数-2＜a＜2；
（4）已知函数f(x)=sin(ωx+

π

6

)-2（ω＞0）的导函数的最大值为3，则函数f（x）的图象关于x=

π

3

对称．

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：根据正弦定理及三角形中“大边对大角”，可以判断（1）的真假；
根据向量投影的定义，计算出

AB

在

CD

上的投影，可判断（2）的真假；
根据对数函数的性质，其中函数的y=lg（x²+ax+1）的值域为R，则真数x²+ax+1的取值范围包含（0，+∞），则对应方程x²+ax+1=0有实根，可判断（3）的真假；
根据函数f（x）的导函数的最大值为3，求出ω值，将x=

π

3

代入判断是否此时函数取最值，可判断（4）的真假．

解答：解：在△ABC中，若A＞B⇒a＞b⇒2rsinA＞2rsinB⇒sinA＞sinB，故（1）正确；
∵

AB

=(3，4)，

CD

=(-2，-1)，则

AB

在

CD

上的投影为

AB • CD

| CD |

=

-10

5

=-2

5

，故（2）不正确；
函数的y=lg（x²+ax+1）的值域为R，则x²+ax+1=0有实根，即a²-4≥0则实数-2≤a≤2，故（3）不正确；
函数f(x)=sin(ωx+

π

6

)-2（ω＞0）的导函数f′（x）=ω•cos(ωx+

π

6

)的最大值为3，则ω=3，当x=

π

3

时，函数f(x)=sin(3x+

π

6

)-2不取最值，故x=

π

3

不是函数f（x）的图象的对称轴，故（4）错误；
故选A

点评：本题以命题的真假判断为载体考查了正弦定理，向量的投影，对数函数的图象和性质，正弦型函数的图象和性质，其中（3）（4）较难