Question

设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x².

(1)求证：f(x)是周期函数；

(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；

(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 012)．

Answer 1

解：(1)∵f(x＋2)＝－f(x)，

∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．

∴f(x)是周期为4的周期函数．

(2)当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，由已知得

f(－x)＝2(－x)－(－x)²＝－2x－x²，

又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x²，

∴f(x)＝x²＋2x.

又当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]，

∴f(x－4)＝(x－4)²＋2(x－4)．

又f(x)是周期为4的周期函数，

∴f(x)＝f(x－4)

＝(x－4)²＋2(x－4)

＝x²－6x＋8.

从而求得x∈[2,4]时，f(x)＝x²－6x＋8.

(3)f(0)＝0，f(2)＝0，

f(1)＝1，f(3)＝－1.

又f(x)是周期为4的周期函数，

∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 008)＋f(2 009)＋f(2 010)＋f(2 011)＋f(2 012)＝0.

∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 012)＝0.