Question

（本小题满分16分）

已知椭圆：的离心率为，直线：与椭圆相切．

（1）求椭圆的方程；

（2）设椭圆的左焦点为，右焦点为，直线过点且垂直与椭圆的长轴，动直线垂直于直线于点，线段的垂直平分线交于点，求点的轨迹的方程；

（3）若，，是上不同的点，且，求实数的取值范围．

Answer 1

（本小题满分16分）

解：（1）因为，所以，

      椭圆的方程可设为·····································2分

      与直线方程联立，消去，可得，

      因为直线与椭圆相切，所以，

      又因为，所以，

      所以，椭圆的方程为；····································4分

 （2）由题意可知，，

      又为点到直线的距离，·······································5分

        所以，点到直线的距离与到点的距离相等，即点的轨迹是以直线为准线，点为焦点的抛物线，···········································7分

      因为直线的方程为，点的坐标为，

      所以，点的轨迹的方程为；································9分

 （3）由题意可知点坐标为·········································10分

      因为，所以，

      即···································11分

      又因为，

      所以，

      因为，所以，····················13分

      方法一：整理可得：，

              关于的方程有不为2的解，所以

                   ，且

              所以， 且

              解得的取值范围为或．······················16分

      方法二：整理可得：，

              当时，

                又因为，所以

              当时，

              所以，的取值范围为或．····················16分