Question

（2011•东城区一模）已知椭圆

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

2

2

，且椭圆上的点到两个焦点的距离和为2

2

．斜率为k（k≠0）的直线l过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M（0，m）．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求m的取值范围；
（Ⅲ）试用m表示△MPQ的面积，并求面积的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）  根据椭圆的定义，椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于长轴长，就可求出a，再根据椭圆的离心率e=

c

a

，就可求出c值，再结合椭圆中a，b，c的关系式求出b值，就可得到椭圆方程．
（Ⅱ）因为直线l斜率为k（k≠0）且过椭圆的上焦点，就可得到直线l的方程为y=kx+1，与椭圆方程联立，解得P，Q两点的横坐标之和，纵坐标之和，均用含k的式子表示，线段PQ的垂直平分线斜率等于直线l斜率的负倒数且过线段PQ的中点，就可以k为参数求出垂直平分线的点斜式方程，令x=0，解出M点的坐标，把m用含k的式子表示，根据k的范围求出m的范围．
（Ⅲ）y轴把△PQM分成了两个三角形，△PMF₁和△QMF₁所以△PQM的面积就是△PMF₁和△QMF₁的面积之和．△PMF₁和△QMF₁都可看做以MF1为底，高分别为P点和Q点的横坐标的绝对值，利用（Ⅱ）中得到的x₁+x₂，x₁x₂的值，就可把△PQM的面积用含m的式子表示，再利用导数求出最大值即可．

解答：解：（Ⅰ）椭圆上的点到两个焦点的距离和为2

2

，即2a=2

2

，∴a=

2

椭圆

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

2

2

，即e=

2

2

∵e=

c

a

，∴

c

a

=

2

2

，
∴c=1
又∵a²=b²+c²，∴b=1．
又斜率为k（k≠0）的直线l过椭圆的上焦点，即椭圆的焦点在Y轴上
∴椭圆方程为

y2

2

+x2=1．
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+1，由

y=kx+1 y2 2 +x2=1

可得（k²+2）x²+2kx-1=0．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则△=8k²+8＞0
x1+x2=

-2k

k2+2

，x1x2=-

1

k2+2

．
y1+y2=k(x1+x2)+2=

4

k2+2

．
设线段PQ中点为N，则点N的坐标为(

-k

k2+2

，

2

k2+2

)，
∵M（0，m），∴直线MN的斜率k_MN=

m- 2 k2+2

k k2+2

∵直线MN为PQ的垂直平分线，∴k_MN•k=-1，
可得

m- 2 k2+2

k k2+2

•k=-1．即m=

1

k2+2

，
又k≠0，∴k²+2＞2，
∴0＜

1

k2+2

＜

1

2

，即0＜m＜

1

2

．
（Ⅲ）设椭圆上焦点为F，
∵y轴把△PQM分成了△PMF和△QMF，
∴S△MPQ=S△PMF +S△QMF =

1

2

|FM||x₁|+

1

2

|FM||x₂|=

1

2

|FM|（|x₁|+|x₂|）
∵P，Q在y轴两侧，∴|x₁|+|x₂|=||（x₁-x₂）
∴S△MPQ=

1

2

•|FM|•|x1-x2|，
∵|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

8(k2+1) (k2+2)2

，
由m=

1

k2+2

，可得k2+2=

1

m

．
∴|x1-x2|=

8( 1 m -1) 1 m2

=

8m(1-m)

．
又∵|FM|=1-m，∴S△MPQ=

1

2

(1-m)

8m(1-m)

= 

2m(1-m)3

．
∴△MPQ的面积为

2

m(1-m)3

（0＜m＜

1

2

）．
设f（m）=m（1-m）³，则f'（m）=（1-m）²（1-4m）．
可知f（m）在区间(0，

1

4

]单调递增，在区间(

1

4

，

1

2

)单调递减．
∴f（m）=m（1-m）³有最大值f(

1

4

)=

27

256

．此时∴△MPQ的面积为

2

×

27 256

=

3 6

16

∴△MPQ的面积有最大值

3 6

16

．

点评：本题（Ⅰ）考查了椭圆定义的应用和椭圆性质的应用求椭圆方程，（Ⅱ）考查了直线与椭圆位置关系的判断，以及韦达定理的应用，（Ⅲ）考查了应用导数求最值．本题综合性强，须认真分析，正确作答．