Question

已知关于x函数g（x）=

2

x

+alnx（a∈R），f（x）=x²+g（x），
（Ⅰ）试讨论函数g（x）的单调区间；
（Ⅱ）若a＞0，试证f（x）在区间（0，1）内有极值．

Answer 1

分析：（I）有函数求导得到导函数，在令导函数大于零解出的x的范围即为函数的单调区间；
（II）由题意先求出函数f（x）的解析式，再利用导数存在极值的方法判断函数f（x）在（0，1）内函数值异号即可．

解答：解：（Ⅰ）由题意g（x）的定义域为（0，+∞）
∵g（x）=

2

x

+alnx
∴g′（x）=-

2

x2

+

a

x

=

ax-2

x2

（i）若a≤0，则g′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，（0，+∞）为其单调递减区间；
（ii）若a＞0，则由g′（x）=0得x=

2

a

，
x∈（0，

2

a

）时，g′（x）＜0；x∈（

2

a

，+∝）时，g′（x）＞0，
所以（0，

2

a

）为其单调递减区间；（

2

a

，+∝）为其单调递增区间；

（Ⅱ）∵f（x）=x²+g（x），
所以f（x）的定义域也为（0，+∞），且f^′（x）=（x²）^′+g′（x）=2x+

ax-2

x2

=

2x3+ax-2

x2

令h（x）=2x³+ax-2，x∈（0，+∞）
因为a＞0，则令h′（x）=6x²+a＞0，所以h（x）为[0，+∞）上的单调递增函数，又h（0）=-2＜0，h（1）=a＞0，
所以在区间（0，+1）内h（x）至少存在一个变号零点x₀，且x₀也是f′（x）的变号零点，所以f（x）在区间（0，+1）内有极值．

点评：此题重点考查了函数利用导函数求其单调区间，还考查了函数存在极值的条件及判断方法．