Question

设不等式组所表示的平面区域为D_n，记D_n内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）个数为f（n），（n∈N^*）
（1）求f（1），f（2）的值及f（n）的表达式；
（2）记，试比较T_n与T_n+1的大小；若对于一切的正整数n，总有T_n≤m成立，求实数m的取值范围；
（3）设S_n为数列b_n的前n项的和，其中b_n=2^f（n），问是否存在正整数n，t，使成立？若存在，求出正整数n，t；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接把n=1，2代入即可求出f（1），f（2）的值；再把x=1，x=2代入综合求出f（n）的表达式；
（2）先利用上面的结论求出T_n的表达式，再对T_n与T_n+1的作商比较，从而求出T_n中的最大值，即可找到满足T_n≤m时对应的实数m的取值范围；
（3）先利用b_n=2^f（n）求出数列{b_n}的通项公式，进而求出S_n；把S_n代入，化简得，再分t=1以及t＞1求出其对应的n即可说明结论．
解答：解：（1）f（1）=3，f（2）=6（2分）
当x=1时，y取值为1，2，3，…，2n共有2n个格点
当x=2时，y取值为1，2，3，…，n共有n个格点
∴f（n）=n+2n=3n（4分）
（2）由
则（5分）
当n=1，2时，T_n+1≥T_n
当n≥3时，n+2＜2n⇒T_n+1＜T_n（6分）
∴n=1时，T₁=9n=2，3时，n≥4时，T_n＜T₃
∴T_n中的最大值为（8分）
要使T_n≤m对于一切的正整数n恒成立，
只需
∴（9分）
（3）（10分）
将S_n代入，化简得，＜（﹡）（11分）
若t=1时，＜⇒8ⁿ＜，显然不成立，
若t＞1时，（﹡）式化简为不可能成立，
综上，不存在正整数n，t使成立．
点评：本题综合考查了数列，函数以及不等式，是对知识点的综合考查．解决本题的关键点在于求出f（n）的表达式．