题目内容

在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知函数 $数学公式$ 满足：对于任意x∈R，f（x）≤f（A））恒成立．
（1）求角A的大小；
（2）若 $数学公式$ ，求BC边上的中线AM长的取值范围．

解：（1）由题意可得f（A）为函数f（x）的最大值，即 $\text{[math]}$ =1，∴A= $\text{[math]}$ ．
（2）若 $\text{[math]}$ ，则BM= $\text{[math]}$ ，△ABM中，由余弦定理可得 c²= $\text{[math]}$ +AM²-2× $\text{[math]}$ cos∠AMB ①．
在△ACM中，由余弦定理可得 b²= $\text{[math]}$ +AM²-2× $\text{[math]}$ cos∠AMC= $\text{[math]}$ +AM²+2× $\text{[math]}$ cos∠AMB ②．
把①、②相加可得AM²= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ．
△ABC中，再由余弦定理可得 3=b²+c²-2bc•cosA=b²+c²-bc，
故有 b²+c²=3+bc＞3，且 b²+c²-bc=3≥b²+c²- $\text{[math]}$ ，
化简可得3＜b²+c²≤6，∴AM∈（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]．
分析：（1）由题意可得f（A）为函数f（x）的最大值，即 $\text{[math]}$ =1，由此求得角A 的值．
（2）利用余弦定理可得AM²=- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，3=b²+c²-bc，从而得到 3＜b²+c²≤6，由此求得BC边上的中线AM长的
取值范围．
点评：本题主要考查余弦定理，求三角函数的最值，以及不等式性质的应用，属于中档题．