Question

（2012•北海一模）定义在R上的奇函数y=f（x），对任意不等的实数x₁，x₂都有[f（x₁）-f（x₂）]（x₁-x₂）＜0成立，若不等式f（x²-2x）+f（2y-y²）≤0成立，则当1≤x≤4时，

y

x

的取值范围为

[-

1

2

，1]

．

Answer 1

分析：先利用不等式（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0恒成立得到函数f（x）是定义在R上的减函数；再利用函数f（x）是定义在R上的奇函数得f（-x）=-f（x），二者相结合及不等式得（x-y）（x+y-2）≥0，结合

y

x

的几何意义可求范围

解答：解：由不等式（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0恒成立得，函数f（x）是定义在R上的减函数
又因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，所以有函数f（-x）=-f（x）
∵f（x²-2x）+f（2y-y²）≤0
∴f（x²-2x）≤-f（2y-y²）=f（y²-2y）
∴x²-2x≥y²-2y即（x-y）（x+y-2）≥0，又1≤x≤4
∴

x-y≥0 x+y-2≥0 1≤x≤4

或

x-y≤0 x+y-2≤0 1≤x≤4

作出不等式组表示的平面区域，如图所求的阴影部分，
令k=

y

x

，则k的几何意义是在可行域内任取一点，与原点（0，0）连线的斜率
由

x=4 y=x

可得C（4，4），由

x=4 y+x-2=0

可得B（4，-2）
∵K_OC=K_OA=1，KOB=-

1

2

结合图形可知，-

1

2

≤

y

x

≤1
故答案为[-

1

2

，1]

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的综合应用问题．关键点有两处：①判断出函数f（x）的单调性；②利用奇函数的性质得到函数f（-x）=-f（x）③明确目标函数的几何意义