Question

如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，．

（1）证明：平面PQC⊥平面DCQ；

（2）求二面角Q—BP—C的余弦值．

 

Answer 1

（1）证明过程详见试题解析；（2）二面角Q—BP—C的余弦值为．

【解析】

试题分析：（1）以点为中心建立空间坐标系，要证平面⊥平面，只需证明PQ⊥DQ，PQ⊥DC即可；（2）先求出平面PBC的和平面PBQ的法向量，两个法向量所成的角即为二面角Q—BP—C的平面角，然后求出余弦值即可．

试题解析：（1）依题意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0）.

则

所以

即PQ⊥DQ，PQ⊥DC.故PQ⊥平面DCQ.

又PQ平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ.

（2）依题意有B（1，0，1），

设是平面PBC的法向量，则

因此可取

设m是平面PBQ的法向量，则

可取

故二面角Q—BP—C的余弦值为

考点：面面垂直的判定定理、二面角的求法、空间坐标系.