Question

已知数列{a_n}中，a₁=3，a₂=5，其前n项和S_n满足S_n+S _n﹣2=2S _n﹣1+2n﹣1（n≥3）．
令b_n=．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若f（x）=2x﹣1，求证：T_n=b₁f（1）+b₂f（2）+…+b_nf（n）＜（n≥1）．

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意知S_n﹣S _n﹣1=S _n﹣1﹣S _n﹣2+2 ^n﹣1（n≥3）
即a_n=a _n﹣1+2 ^n﹣1（n≥3）
∴a_n=（a_n﹣a _n﹣1）+（a _n﹣1﹣a _n﹣2）+…+（a₃﹣a₂）+a₂
         =2 ^n﹣1+2 ^n﹣2+…+2²+5=2ⁿ+1（n≥3）
检验知n=1、2时，结论也成立，故a_n=2ⁿ+1．
（Ⅱ）由于
                                   ==．
故T_n=b₁f（1）+b₂f（2）+…+b_nf（n）
       =
      =．