Question

已知函数f（x）=x²（x-a）+bx
（Ⅰ）若a=3，b=l，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若b=a+

10

3

，函数f（x）在（1，+∞）上既能取到极大值又能取到极小值，求a的取值范围；
（Ⅲ）若b=0，不等式

f(x)

x2

-1nx+1≥0对任意的x∈[

1

2

，+∞)恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导函数，确定切线的斜率，切点的坐标，即可求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求导函数，利用函数f（x）在（1，+∞）上既能取到极大值又能取到极小值，建立不等式，即可求a的取值范围；
（Ⅲ）不等式

f(x)

x2

-1nx+1≥0对任意的x∈[

1

2

，+∞)恒成立，可化为x-lnx+1≥a对任意的x∈[

1

2

，+∞)恒成立，确定左边的最小值，即可求得a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）若a=3，b=l，则f（x）=x³-3x²+x，∴f′（x）=3x²-6x+1
∴f′（1）=3×1²-6+1=-2，f（1）=-1
∴函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y+1=-2（x-1），即y=-2x+1；
（Ⅱ）∵b=a+

10

3

，∴f（x）=x³-ax²+（a+

10

3

）x，∴f′（x）=3x²-2ax+a+

10

3

∵函数f（x）在（1，+∞）上既能取到极大值又能取到极小值，
∴

4a2-12(a+ 10 3 )＞0 2a 6 ＞1 3-2a+a+ 10 3 ＞0

，∴5＜a＜

19

3

；
（Ⅲ）若b=0，则f（x）=x²（x-a）
∴不等式

f(x)

x2

-1nx+1≥0对任意的x∈[

1

2

，+∞)恒成立，可化为x-lnx+1≥a对任意的x∈[

1

2

，+∞)恒成立，
设g（x）=x-lnx+1，则g′（x）=1-

1

x

令g′（x）＜0，∵x≥

1

2

，∴可得

1

2

≤x＜1；g′（x）＞0，∵x≥

1

2

，∴可得x＞1
∴g（x）在[

1

2

，1)上单调递减，在（1，+∞）上单调递增
∴g（x）的最小值为g（1）=2
∴a≤2．

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的极值，考查恒成立问题，确定函数的单调性是关键．