Question

【题目】已知椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,短轴两个端点为A,B,且四边形F1AF2B是边长为2的正方形.

(1)求椭圆的方程;

(2)若C,D分别是椭圆的左、右端点,动点M满足MD⊥CD,连接CM,交椭圆于点P.证明:为定值.

(3)在(2)的条件下,试问x轴上是否存在异于点C的定点Q,使得以MP为直径的圆恒过直线DP,MQ的交点?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析

【解析】

试题分析：（1）由题意知，，，由此可知椭圆方程为；（2）设，则直线：，代入椭圆方程，得，然后利用根与系数的关系能够推导出为定值；（3）设存在满足条件，则，直线的斜率，直线的斜率，再由，由此可知存在满足条件．

试题解析：（1），∴椭圆方程为：．

（2）∵，∴设，则直线的方程为：，

，

解设：或（舍去），

，∴，从而，

∴．

（3）设，若以为直径的圆过与的交点即直线，

直线的斜率，直线的斜率，

所以，即，

∴，即．