Question

已知椭圆

x2

4

+

y2

2

=1的两焦点分别为F₁，F₂，P是椭圆在第一象限内的一点，并满足

PF1

•

PF2

=1，过P作倾斜角互补的两条直线PA，PB分别交椭圆于A，B两点．
（Ⅰ）求P点坐标；
（Ⅱ）当直线PA经过点（1，

2

）时，求直线AB的方程；
（Ⅲ）求证直线AB的斜率为定值．

Answer 1

（I）由椭圆

x2

4

+

y2

2

=1可得c=

2

，∴两焦点分别为F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)．
设P（（x，y），由题意可得

x2 4 + y2 2 =1 (- 2 -x，-y)•( 2 -x，-y)=1 x＞0，y＞0

，解得

x= 2 y=1

，∴P(

2

，1)．
（II）∵kPA=

1- 2

2 -1

=-1，两条直线PA，PB倾斜角互补，
∴k_PA+k_PB=0，解得k_PB=1．
因此直线PA，PB，的方程分别为y-1=-(x-

2

)，y-1=x-

2

，
化为x+y-

2

-1=0，x-y-

2

+1=0．
联立

x+y- 2 -1=0 x2+2y2=4

，解得

x= 2 y=1

（舍去），

x= 2 +4 3 y= 2 2 -1 3

，即A(

2 +4

3

，

2 2 -1

3

)．
同理解得B(

2 -4

3

，-

1+2 2

3

)．
∴k_AB=

- 1+2 2 3 - 2 2 -1 3

2 -4 3 - 2 +4 3

=

2

2

，∴直线AB的方程为y-

2 2 -1

3

=

2

2

(x-

2 +4

3

)，化为3

2

x-6y-4=0．
（III）S设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
设直线PA的方程为：y-1=k(x-

2

)，则直线PB的方程为y-1=-k(x-

2

)．
联立

y-1=k(x- 2 ) x2+2y2=4

，解得A(

2 2 k2-4k- 2

1+2k2

，

-2k2-2 2 k+1

1+2k2

)．
同理B(

2 2 k2+4k- 2

1+2k2

，

-2k2+2 2 k+1

1+2k2

)，
∴k_AB=

y2-y1

x2-x1

=

4 2 k

8k

=

2

2

．
即直线AB的斜率为定值

2

2

．