Question

(本小题满分16分)

已知函数和函数．

（Ⅰ）若，求函数的单调区间；

（Ⅱ）若方程在恒有唯一解，求实数的取值范围；

（Ⅲ）若对任意，均存在，使得成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）时，，

函数的单调增区间为，单调减区间为．…………（4分）

（Ⅱ）由在恒有唯一解，得在

恒有唯一解．当时，得；

当时，得，则或，即．

综上，的取值范围是．…………（10分）

（Ⅲ），则的值域应是的值域的子集．

当时，在上单调减，故，

在上单调减，上单调增，故，

所以，解得．

②当时，在上单调减，故， 在单调增，上单调减，上单调增，故，所以，解得．

③时，在上单调减，上单调增，故．

在上单调增，故，所以，即．

④时，在上单调减，上单调增，故．

在上单调增，故，所以，即．（舍去）

综上，的取值范围是．…………（16分）