Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c，满足f（0）=f（1）=0，且f（x）的最小值是．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）设函数h（x）=lnx-2x+f（x），若函数h（x）在区间上是单调函数，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）根据二次函数f（x），满足f（0）=f（1），且f（x）的最小值是．可得函数图象顶点坐标，设出函数的顶点式，代入f（0）=0可得函数的解析式．
（II）由（I）可得函数h（x）的解析式，进而求出其导函数的解析式，根据导函数在（，1）为负，结合函数h（x）在区间上是单调函数，可构造关于m的不等式组，解不等式组可得实数m的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）∵二次函数f（x）满足f（0）=f（1）=0
故函数的图象关于x=对称
设，
又f（0）=0
∴a=1，
故f（x）=x²-x
（Ⅱ）h（x）=lnx-2x+x²-x=lnx+x²-3x
∴
∵当x∈（-∞，0）∪（，1）时，h′（x）＜0
且函数h（x）在区间上是单调函数，
∴
解得
点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，函数解析式的求法，是二次函数图象和性质及导数的综合应用，难度不大．