Question

已知F₁，F₂是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点，点P是椭圆上的点，I是△F₁P F₂内切圆的圆心，直线PI交x轴于点M，则|PI|：|IM|的值为（　　）

• A、

  c

  a

• B、

  a

  c

• C、

  a

  b

• D、

  b

  a

Answer 1

分析：根据I是△F₁P F₂内切圆的圆心，利用三角形角平分线的性质，结合椭圆的定义，即可得出结论．

解答：解：∵I是△F₁P F₂内切圆的圆心，直线PI交x轴于点M，
∴

|PF1|

|PF2|

=

|F1M|

|MF2|

，
∴

|PF1|+|PF2|

|PF2|

=

|F1M|+|MF2|

|MF2|

，
∴

2a

|PF2|

=

2c

|MF2|

，
∴|PF₂|：|MF₂|=

a

c

，
∵|PF₂|：|MF₂|=|PI|：|IM|，
∴|PI|：|IM|=

a

c

，
故选B．

点评：本题考查三角形角平分线的性质，考查椭圆的定义，属于中档题．