Question

设p，q为实数，α，β是方程x²-px+q=0的两个实根，数列{x_n}满足x₁=p，x₂=p²-q，x_n=px_n-1-qx_n-2（n=3，4，…），
（1）证明：α+β=p，αβ=q；
（2）求数列{x_n}的通项公式；
（3）若p=1，q=，求{x_n}的前n项和S_n．

Answer 1

解：（1）由求根公式，不妨设α＜β，得，
∴，；
（2）设，则，
由得，消去t，得，
∴s是方程的根，由题意可知，，
①当α≠β时，此时方程组的解记为或，
∴，
即、分别是公比为、的等比数列，
由等比数列性质可得，，
两式相减，得，
，
∴，
∴，
∴，即，
∴；
②当α=β时，即方程有重根，∴，
即，得，∴s=t，
不妨设s=t=α，由①可知，
∵α=β，
∴，即，
等式两边同时除以αⁿ，得，即，
∴数列是以1为公差的等差数列，
∴，
∴；
综上所述，；
（3）把p=1，代入，得，
解得，
∴，


。