Question

若双曲线以椭圆

x2

25

+

y2

9

=1的长轴的两个端点为焦点，且经过点（4

2

，3），求双曲线的标准方程，并求出它的离心率和渐近线方程．

Answer 1

分析：利用椭圆的三个参数的关系求出椭圆的焦点坐标，设出双曲线的方程，将已知点的坐标代入双曲线方程得到双曲线的三个参数的一个关系，再利用双曲线本身具有的关系，求出a，b，c的值，即得到双曲线的方程，最后写出它的离心率和渐近线方程即可．

解答：解：椭圆

x2

25

+

y2

9

=1长轴的两个端点坐标为（-5，0），（5，0），…（1分）
所以所求双曲线的焦点为F₁（-5，0），F₂（5，0），
设所求双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，…（2分）
∴a²+b²=25①…（3分）
又双曲线经过点（4

2

，3），所以有

32

a2

-

9

b2

=1②…（4分）
由①②解得a²=16，b²=9                              …（8分）
∴所求双曲线的方程为

x2

16

-

y2

9

=1．        
∵a²=16，b²=9∴c²=7                     
∴e=

c

a

=

7

4

，
渐近线方程：y=±

3

4

x                                …（12分）

点评：求圆锥曲线的方程一般利用待定系数法，要注意圆锥曲线中的三个参数关系的区别，双曲线中有c²=a²+b²而椭圆中有a²=c²+b²