Question

已知椭圆C与双曲线

x2

2

-

y2

6

=1有相同焦点F₁和F₂，过F₁的直线交椭圆于A、B两点，△ABF₂的周长为8

3

．若直线y=t（t＞0）与椭圆C交于不同的两点E、F，以线段EF为直径作圆M．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若圆M与x轴相切，求圆M被直线x-

3

y+1=0截得的线段长．

Answer 1

分析：（1）由题意可设椭圆C的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），半焦距为c．由于椭圆C与双曲线

x2

2

-

y2

6

=1有相同焦点，可得c=

2+6

=2

2

．由于△ABF₂的周长为8

3

，即|AB|+|AF₂|+|BF₂|=8

3

，利用椭圆的定义可得4a=8

3

，再利用b²=a²-c²即可．
（2）联立

y=t x2 12 + y2 4 =1

，解得点E，F的坐标．由于以线段EF为直径所作的圆M与x轴相切，可知圆M的半径r=t=

1

2

|EF|，即可解得t．可得圆心为（0，t），即可得到圆M的方程，利用点到直线的距离公式可得：圆心到到直线x-

3

y+1=0的距离d，再利用弦长公式可得弦长2

r2-d2

．

解答：解：（1）由题意可设椭圆C的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），半焦距为c．
∵椭圆C与双曲线

x2

2

-

y2

6

=1有相同焦点，∴c=

2+6

=2

2

．
∵△ABF₂的周长为8

3

，∴|AB|+|AF₂|+|BF₂|=8

3

，∴|AF₁|+|BF₁|+|AF₂|+|BF₂|=8

3

，
由椭圆的定义可得4a=8

3

，解得a=2

3

，
∴b²=a²-c²=4．
∴椭圆C的方程为

x2

12

+

y2

4

=1．
（2）联立

y=t x2 12 + y2 4 =1

，解得

x=± 12-3t2 y=t

，
不妨设E(-

12-3t2

，t)，F(

12-3t2

，t)，
∵以线段EF为直径所作的圆M与x轴相切，∴r=t=

12-3t2

，解得t=

3

．
∴圆心为（0，

3

）．
∴圆M的方程为x2+(y-

3

)2=3．
圆心（0，

3

）到直线x-

3

y+1=0的距离d=

|0-3+1|

1+( 3 )2

=1．
∴圆M被直线x-

3

y+1=0截得的线段长=2

r2-d2

=2

3-1

=2

2

．

点评：本题考查了圆锥曲线的定义及其性质、圆的标准方程及其切线的性质、弦长公式、点到直线的距离公式等基础知识与基本技能方法，属于难题．