Question

【题目】已知函数

（1）若当时，恒成立，求实数的取值范围.

（2）设，求证：当时， .

Answer 1

【答案】(1) ；(2)证明见解析

【解析】

（1）解法一：求得函数导数并通分，对分成两种情况，结合函数的单调性、最值，求得实数的取值范围.解法二：将原不等式分离常数，得到，构造函数，利用导数结合洛必达法则，求得的取值范围，由此求得的取值范围.（2）解法一：先由（1）的结论，证得当时成立.再利用导数证得当时，也成立，由此证得不等式成立.解法二：将所要证明的不等式等价转化为，构造函数，利用导数证得，进而证得，也即证得.

解：（1）【解法一】由得：

①当时，由知，

在区间上为增函数，

当时，恒成立，

所以当时，满足题意；

②当时，在区间上是减函数，在区间上是增函数.

这时当时，，

令，则

即在上为减函数，所以

即在上的最小值，

此时，当时，不可能恒成立，即有不满足题意.

综上可知，当，使恒成立时，

的取值范围是.

【解法二】

当时，等价于

令，则只须使

设

在上为增函数，

所以在上为增函数，

当时，

由洛必达法则知

即当时，，所以有

即当，使恒成立时，则的取值范围是

（2）解法一：由（1）知，当时，

当时，

又

成立

故只须在证明，当时，即可

当时，

又当时，

所以，只须证明即可；

设

由得：

当，时

当时，

即在区间上为增函数，在区间上为减函数，

当时，

成立

综上可知，当时，成立.

（2）解法二：由（1）知当时，

等价于

设

由得：

当时，；当时，

即在区间上为增函数，在区间上为减函数，

当时，

因为时，.所以

所以成立.

综上可知，当时，成立.