Question

某旅游用品商店经销某种深圳大运会记念品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向税务部门上交a元（3≤a≤6）的税收，预计当每件产品的售价为x元（11≤x≤16）时，一年的销售量为（18-x）²万件．
（Ⅰ）求该商店一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；
（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，该商店一年的利润L最大，并求出L的最大值Q（a）．

Answer 1

分析：（1）根据利润等于销售量与每件商品的利润的乘积可得该商店一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式；
（2）欲求出L的最大值Q（a）．先对函数L（x）求导数，讨论a的范围，利用导数研究原函数的单调性，从而求得原函数的最大值即可解决问题．

解答：解：（Ⅰ）商店一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为：L=（x-3-a）（18-x）²，x∈[11，16]．（无定义域扣1分）                                      …（4分）
（Ⅱ）L=（x-3-a）（18-x）²=x（18-x）²-（3+a）（18-x）²L'（x）=（18-x）²-2x（18-x）+2（3+a）（18-x）=（18-x）（24+2a-3x）．
令L'=0得x=8+

2

3

a或x=18（不合题意，舍去）．…（6分）
∵3≤a≤6，∴10≤8+

2

3

a≤12．在x=8+

2

3

a两侧L'（x）的值由正变负．
所以（1）当10≤8+

2

3

a＜11，即3≤a＜

9

2

时，L_max=L（11）=49（8-a）=49（8-a）．
（2）当11≤8+

2

3

a≤12即

9

2

≤a≤6时，Lmax=L(8+

2

3

a)=(8+

2

3

a-3-a)[18-(8+

2

3

a)]2=4(5-

1

3

a)3，
所以Q（a）=

49(8-a)    3≤a≤ 9 2 4(5- 1 3 a ) 3  9 2 ＜a≤6

答：若3≤a＜

9

2

，则当每件售价为11元时，商店一年的利润L最大，最大值Q（a）=49（8-a）（万元）；若

9

2

≤a≤6，则当每件售价为(8+

2

3

a)元时，商店一年的利润L最大，最大值Q(a)=4(5-

1

3

a)3（万元）．…（14分）

点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用、导数的应用及函数的最值，同时考查了分段函数的应用，属于中档题．