题目内容

设函数f（x）=x³+ax²+x+1，a∈R．
（1）若x=1时，函数f（x）取得极值，求函数f（x）的图象在x=-1处的切线方程；
（2）若函数f（x）在区间 $数学公式$ 内不单调，求实数a的取值范围．

解：（1）f'（x）=3x²+2ax+1由f'（1）=0得a=-2
∴f（x）=x³-2x²+x+1
当x=-1时，y=-3即切点（-1，-3）
k=f'（x₀）=3x₀²-4x₀+1令x₀=-1得k=8
∴切线方程为8x-y+5=0
（2f（x）在区间 $\text{[math]}$ 内不单调即f′（x）=0在 $\text{[math]}$ 有解
∴3x²+2ax+1=0在 $\text{[math]}$ 有解
∴ $\text{[math]}$
令h（x）= $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
知h（x）在 $\text{[math]}$ 单调递减，在 $\text{[math]}$ 单调递增
∴ $\text{[math]}$
即h（x） $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
即 $\text{[math]}$
而当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$
∴舍去
综上 $\text{[math]}$
分析：（1）求出导函数，令导函数在x=1处的值为0，求出f（x）的解析式，将x=-1代入f（x）求出切点坐标，将x=-1代入导函数求出切线的斜率，利用点斜式求出切线的方程．
（2）函数不单调，即函数在区间 $\text{[math]}$ 有极值，即导函数在区间上有解，令导函数为0，分离出a，求出a的范围．
点评：本题考查函数在极值点处的导数值为0；导函数在切点处的值为切线的斜率；考查解决方程有解问题常分离参数转化为求函数的值域．