Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点，PA=PD=AD=2
（1）点M在线段PC上，PM=tPC，试确定t的值，使PA∥平面MQB；
（2）在（1）的条件下，若平面PAD⊥平面ABCD，求二面角M-BQ-C的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）当t=时，PA∥平面MQB，若PA∥平面MQB，连AC交BQ于N，根据线面平行得到PA∥MN，从而，即PM=PC，从而求出t的值；
（2）以Q为坐标原点，分别以QA、QB、QP所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，先求出平面MQB的法向量，取平面ABCD的法向量设所求二面角为θ，根据公式即可求出二面角M-BQ-C的大小．
解答：解：（1）当t=时，PA∥平面MQB
下面证明：若PA∥平面MQB，连AC交BQ于N
由AQ∥BC可得，△ANQ∽△BNC，
∴…（2分）
PA∥平面MQB，PA?平面PAC，
平面PAC∩平面MQB=MN，
∴PA∥MN…（4分）
   即：PM=PC∴t=…（6分）
（2）由PA=PD=AD=2，Q为AD的中点，则PQ⊥AD．．（7分）
又平面PAD⊥平面ABCD，所以PQ⊥平面ABCD，连BD，
四边形ABCD为菱形，
∵AD=AB，∠BAD=60°△ABD为正三角形，
Q为AD中点，∴AD⊥BQ…（8分）
以Q为坐标原点，分别以QA、QB、QP所在的直线为
x，y，z轴，建立如图所示的坐标系，则各点坐标为
A（1，0，0），B（0，，0），Q（0，0，0），P（0，0，）
设平面MQB的法向量为，可得
而PA∥MN∴，
取z=1，解得…（10分）
取平面ABCD的法向量设所求二面角为θ，
则故二面角M-BQ-C的大小为60°…（12分）
点评：本题主要考查了线面平行的判断，以及利用空间向量的方法度量二面角的平面角，同时考查了空间想象能力，论证推理能力，属于中档题．