Question

一火车锅炉每小时消耗煤的费用与火车行驶的速度的立方成正比，已知当速度为每小时20千米时，每小时消耗的煤的费用为40元；火车行驶的其它费用为每小时200元，则火车行驶的速度为

10

3	20

（千米/小时）时，火车从甲城开往乙城的总费用最省（已知甲、乙两城距离为a千米，且火车最高速度为每小时100千米）．

Answer 1

分析：先设火车行驶的速度为x（千米/小时）时，火车从甲城开往乙城的总费用最省．设出1小时的燃料费P元与速度x（公里/小时）的函数关系，代入速度与每小时燃料费的关系值求出比例系数即可；最后根据题设要求设出行驶总费用与速度之间的函数关系式，再利用函数的导数去求函数的最小值即可．

解答：解：设火车行驶的速度为x（千米/小时）时，火车从甲城开往乙城的总费用最省．
1小时的燃料费P元与速度v（公里/小时）的函数关系可以表示为p=kx³．
又∵40=k•20³，∴k=

1

200

，∴p=

1

200

v³．（v＞0）（3分）
设从甲地行驶到乙地所需的费用总和为y元，
则y=

a

x

（0.005x³+200）=a（

1

200

x²+

200

x

）．（100≥x＞0）（7分）
∴y′=a（

x

100

-

200

x2

），由y′=0，得x=10

3	20

（公里/小时）．（10分）
又∵当x＜10

3	20

时，y′＜0；当x＞10

3	20

时，y′＞0．
∴当速度为10

3	20

公里/小时时，航行所需的费用总和为最小．（12分）
故答案为：10

3	20

．

点评：本题是实际应用题，考查学生建立函数模型的能力，以及利用函数的导数研究给定区间上函数的最值问题，是高考的常考知识点．