Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=2-a_n，数列{b_n}满足b₁=1，b₃+b₇=18，且b_n-1+b_n+1=2b_n（n≥2）．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若c_n=

bn

an

，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由前n项和与第n项的关系，可得an=

1

2

an-1，求出此等比数列的通项公式；由b_n-1+b_n+1=2b_n（n≥2）知，数列{b_n}是等差数列，由b5=

1

2

(b3+b7)=9，求得d=

b5-b1

4

=2，从而写出等差数列 的通项公式．
（Ⅱ）cn=

bn

an

=(2n-1)•2n-1，用错位相加法进行数列求和，得到T_n 的结果．

解答：解：（Ⅰ）由题意S_n=2-a_n ①，当n≥2时，S_n-1=2-a_n-1 ②，①-②得  a_n=S_n-S_n-1 =a_n-1-a_n ，
即an=

1

2

an-1，又a₁=S₁=2-a₁，∴a₁=1，故数列{a_n}是以1为首项，

1

2

为公比的等比数列，所以an=

1

2n-1

．
由b_n-1+b_n+1=2b_n（n≥2）知，数列{b_n}是等差数列，设其公差为d，
则b5=

1

2

(b3+b7)=9，所以d=

b5-b1

4

=2，b_n=b₁+（n-1）d=2n-1；
综上，数列{a_n}和{b_n}的通项公式为 an=

1

2n-1

，bn=2n-1．
（Ⅱ）cn=

bn

an

=(2n-1)•2n-1，

Tn=c1+c2+c3+…+cn

=

1×20+3×21+5×22++(2n-1)×2n-1，

  ③
∴2T_n=1×2¹+3×2²++（2n-3）×2^n-1+（2n-1）×2ⁿ，④
③-④得-T_n=1+2（2¹+2²+2³++2^n-1）-（2n-1）•2ⁿ，
整理得-Tn=1+2×

2-2n

1-2

-(2n-1)•2n=-(2n-3)•2n-3，所以T_n=（2n-3）•2ⁿ+3．

点评：本题考查等比数列的性质，等比数列的通项公式，等差数列的性质，等差数列的通项公式，根据递推关系求通项，用错位相加法进行数列求和，用错位相加法求出T_n=（2n-3）•2ⁿ+3，是解题的难点．