Question

已知

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，M、N是椭圆上关于原点对称的两点，P是椭圆上任意一点，且直线PM、PN的斜率分别为k₁、k₂（k₁k₂≠0），若|k₁|+|k₂|的最小值为1，则椭圆的离心率为（　　）

• A、

  2

  2

• B、

  2

  4

• C、

  3

  4

• D、

  3

  2

Answer 1

分析：根据题意，设P（acosβ，bsinβ），M（acosα，bsinα），因为M、N是椭圆上关于原点对称的两点，则N（-acosα，-bsinα），进而由斜率公式表示出k₁、k₂的值，计算可得k₁•k₂的值，由基本不等式，可得|k₁|+|k₂|的最小值为2

k1•k2

，结合题意，|k₁|+|k₂|的最小值为1，得到

2b

a

=1，计算可得答案．

解答：解：设P（acosβ，bsinβ），M（acosα，bsinα），则N（-acosα，-bsinα），
可得k1=

b(sinβ-sinα)

a(cosβ-cosα)

，k2=

b(sinβ+sinα)

a(cosβ+cosα)

，
|k1|•|k2|=|

b2(sin2β-sin2α)

a2(cos2β-cos2α)

|=

b2

a2

，
∴|k1|+|k2|≥2

|k1k2|

=

2b

a

?

2b

a

=1?e=

3

2

．
故选D．

点评：本题考查椭圆的有关性质，涉及三角函数的运算与不等式的有关知识，有一定的难度，注意加强训练．